Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của một hàm số y=f(x)y = f(x) tại một điểm x0x_0​ trên miền xác định của hàm số được định nghĩa là giới hạn sau:f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}trong đó:ΔxDelta x: Số gia của biến số xx, tức là Δx=x−x0Delta x = x - x_0​.ΔyDelta y: Số gia của hàm số tại điểm x0x_0​, tức là Δy=f(x0+Δx)−f(x0)Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)).Giới hạn này biểu diễn tốc độ thay đổi tức thời của hàm số tại điểm x0x_0​.

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính f′(x0)f'(x_0)bằng định nghĩa, thực hiện theo 3 bước sau:Bước 1: Tìm số gia ΔyDelta yΔy=f(x0+Δx)−f(x0)Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)Bước 2: Rút gọn tỉ số ΔyΔxfrac{Delta y}{Delta x}Chia ΔyDelta y cho ΔxDelta x:ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx.frac{Delta y}{Delta x} = frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x}.Bước 3: Tính giới hạn lim⁡Δx→0ΔyΔxlim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}Lấy giới hạn khi Δx→0Delta x to 0f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x}.Nếu giới hạn tồn tại và bằng một số cụ thể aa, thì ta kết luận:f′(x0)=a.f'(x_0) = a.

Các công thức đạo hàm cần nhớ

Trong mục này, chúng mình cùng nhắc lại đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; bảng đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp. Ngoài ra, chúng mình còn được mở rộng thêm về đạo hàm của các phân thức hữu tỉ và đạo hàm cấp cao nữa nhé.

a) Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử $f=f(x), g=g(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:$(f + g)^{prime} =f^{prime}+ g^{prime}$ ; $(f - g)^{prime} = f^{prime} - g^{prime}$;$(f . g)^{prime}= f^{prime}.g + f g^{prime}$ ; $left(dfrac{f}{g}right)’=dfrac{f’ g-f g’}{g^2}, (g=g(x) neq 0) .$

b) Bảng công thức đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản và hàm hợp

c) Công thức tính nhanh đạo hàm của các phân thức hữu tỉ

$begin{aligned} & left(frac{a x+b}{c x+d}right)^{prime}=frac{left|begin{array}{ll}a & b c & dend{array}right|}{(c x+d)^2}=frac{a d-b c}{(c x+d)^2} & left(frac{a x^2+b x+c}{e x+f}right)^{prime}=frac{a e x^2+2 a f x+(b f-c e)}{(e x+f)^2} & left(frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}right)^{prime}=frac{left|begin{array}{ll}a_1 & b_1 a_2 & b_2end{array}right| x^2+2left|begin{array}{ll}a_1 & c_1 a_2 & c_2end{array}right| x+left|begin{array}{ll}b_1 & c_1 b_2 & c_2end{array}right|}{left(a_2 x^2+b_2 x+c_2right)^2} & end{aligned}$

d) Công thức đạo hàm cấp cao

- Đạo hàm lũy thừa: $left(x^mright)^{(n)}= begin{cases}m(m-1)(m-2) ldots(m-n+1) x^{m-n} & (m geq n) 0 & (m<n)end{cases}$- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:$left(log _a xright)^{(n)}=(-1)^{n-1} frac{(n-1) !}{ln a} frac{1}{x^n}$$(ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}$$left(e^{k x}right)^{(n)}=k^n e^{k x}$$left(a^xright)^{(n)}=(ln a)^n a^x$- Đạo hàm của hàm số lượng giác:$(sin a x)^{(n)}=a^n sin left(a x+frac{n pi}{2}right)$$(cos a x)^{(n)}=a^n cos left(a x+frac{n pi}{2}right)$- Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $left(frac{1}{a x+b}right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

e) Các công thức đạo hàm mở rộng

Trong chương trình môn Toán, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là chưa đủ. Để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, học sinh cần hiểu và áp dụng các công thức đạo hàm mở rộng. Các công thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi chuyên đề. Dưới đây là các công thức mở rộng:

Công thức đạo hàm của hàm mũ và logarit:

Đạo hàm của hàm mũ: ddxax=axln⁡afrac{d}{dx} a^x = a^x ln aĐạo hàm của hàm logarit: ddxlog⁡ax=1xln⁡afrac{d}{dx} log_a x = frac{1}{x ln a}

Công thức đạo hàm của các hàm lượng giác:

Đạo hàm của hàm sin, cos nhiều lần: (sin⁡x)(n)=(−1)nsin⁡(n)(x)(sin x)^{(n)} = (-1)^n sin^{(n)}(x)(cos⁡x)(n)=(−1)ncos⁡(n)(x)(cos x)^{(n)} = (-1)^n cos^{(n)}(x)Đạo hàm của hàm tan và cotan: (tan⁡x)(n)=dndxntan⁡x=n!cos⁡2(x)tan⁡(n−1)(x)(tan x)^{(n)} = frac{d^n}{dx^n} tan x = frac{n!}{cos^2(x)} tan^{(n-1)}(x)(cot⁡x)(n)=(−1)nn!sin⁡2(x)cot⁡(n−1)(x)(cot x)^{(n)} = (-1)^n frac{n!}{sin^2(x)} cot^{(n-1)}(x)

Công thức đạo hàm của phân thức hữu tỉ:

Đạo hàm của phân thức bậc cao: (P(x)Q(x))′=Q(x)P′(x)−P(x)Q′(x)(Q(x))2left( frac{P(x)}{Q(x)} right)' = frac{Q(x)P'(x) - P(x)Q'(x)}{(Q(x))^2}

Công thức đạo hàm cấp cao:

Đạo hàm của các hàm lũy thừa và hàm số mũ nhiều lần: (xm)(n)={m(m−1)(m−2)…(m−n+1)xm−nif m≥n0if m<nleft(x^mright)^{(n)} = begin{cases} m(m-1)(m-2) ldots(m-n+1) x^{m-n} & text{if } m geq n 0 & text{if } m < n end{cases}Đạo hàm của hàm số mũ và logarit nhiều lần: ddxekx=kekxfrac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx}

Các quy tắc tính đạo hàm

Trong quá trình giải toán liên quan đến đạo hàm, các quy tắc tính là công cụ vô cùng quan trọng, giúp chúng ta xử lý những bài toán từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh chóng và chính xác. Sau đây là các quy tắc cần nhớ:

Quy tắc tổng và hiệu

(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x), (f(x)−g(x))′=f′(x)−g′(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), quad (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

Quy tắc tích

(f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f(x) cdot g(x))' = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)

Quy tắc thương

(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g(x)2 (với g(x)≠0)left(frac{f(x)}{g(x)}right)' = frac{f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)}{g(x)^2} quad text{(với (g(x) neq 0))}

Quy tắc hàm hợp

y=f(u(x))  ⟹  y′=f′(u)⋅u′(x)y = f(u(x)) implies y' = f'(u) cdot u'(x)

Ứng dụng

Kết hợp các quy tắc linh hoạt để tính đạo hàm cho bài toán phức tạp. Ví dụ:Tính y=x2⋅exsin⁡(x)y = frac{x^2 cdot e^x}{sin(x)} :Áp dụng quy tắc thương và tích, kết quả:y′=(2x⋅ex+x2⋅ex)⋅sin⁡(x)−x2⋅ex⋅cos⁡(x)sin⁡2(x)y' = frac{(2x cdot e^x + x^2 cdot e^x) cdot sin(x) - x^2 cdot e^x cdot cos(x)}{sin^2(x)}

Bài tập áp dụng công thức tính đạo hàm

Các bạn hãy lấy giấy, bút, nháp để làm các bài tập dưới đây nhé. Đây là các dạng bài tập cơ bản sử dụng công thức tính đạo hàm.

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số $f(x)=x^3+2 x^2+4 x+5$ có đạo hàm $f^{prime}(x)$ là:A. $f^{prime}(x)=3 x^2+4 x+4$ B. $f^{prime}(x)=3 x^2+4 x+4+5$C. $f^{prime}(x)=3 x^2+2 x+4$ D. $f^{prime}(x)=3 x+2 x+4$Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số sau $y=frac{2 x+1}{x+2}$A. $-frac{3}{(x+2)^2}$ B. $frac{3}{x+2}$C. $frac{3}{(x+2)^2}$ D. $frac{2}{(x+2)^2}$Câu 3. Cho hàm số $f(x)=sqrt[3]{x}$. Giá trị của $f^{prime}(8)$ bằng:A. $frac{1}{6}$ B. $frac{1}{12}$ C. $-frac{1}{6}$ D. $-frac{1}{12}$Câu 4. Cho hàm số $y=frac{3}{1-x}$. Để $y^{prime}<0$ thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?A. 1. B. 3. C. $emptyset$. D. $mathrm{R}$.Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y=frac{1}{x^3}-frac{1}{x^2}$ bằng biểu thức nào sau đây?A. $-frac{3}{x^4}+frac{1}{x^3}$ B. $frac{-3}{x^4}+frac{2}{x^3}$C. $frac{-3}{x^4}-frac{2}{x^3}$ D. $frac{3}{x^4}-frac{1}{x^3}$Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y=left(1-x^3right)^5$ là :A. $y^{prime}=5 x^2left(1-x^3right)^4$ B. $y^{prime}=-15 x^2left(1-x^3right)^4$C. $y^{prime}=-3 x^2left(1-x^3right)^4$ D. $y^{prime}=-5 x^2left(1-x^3right)^4$Câu 7. Nếu hàm số $f(x)=sqrt{2 x-1}$ thì $f^{prime}(5)$ bằngA. 3. B. $dfrac{1}{6}$. C. $dfrac{1}{3}$. D. $dfrac{2}{3}$.

Bài tập tự luận

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau1. $y=-2 x^4+4 x^2-3 x+1$.2. $y=x^3-3 x^2+x-1$.3. $y=frac{1}{2} x^3+x^4-x^3-frac{3}{2} x^2+4 x-5$.Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau1. $y=left(x^2+xright)left(3-x^2right)$.2. $y=(2 x-1)^2(2 x+1)^2$.3. $y=x(2 x-1)(3 x+2)$.Bài 3. Tìm đạo hàm của hàm số sa...